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quarta-feira, 20 de outubro de 2010
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terça-feira, 13 de abril de 2010
al-kwiwii
historia da equação do 2ºgrau
A resolução de problemas com equações do segundo grau aparece tanto nos babilônicos, como nos egípcios, como nos gregos. No entanto, um nome ficou eternamente ligado à resolução de equações do segundo grau - Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Matemático que viveu no século IX, a sua importância é impressionante. Tendo trabalhado na biblioteca de Bagdad, denominada de Casa da Ciência ou Casa da Sabedoria, traduziu para o árabe obras matemáticas provenientes, sobretudo, da Grécia e da Índia. Um dos mais importantes, se não o mais, feitos de Al-Khwarizmi, foi a criação de uma obra sobre o sistema numérico hindu, conhecido atualmente por sistema de numeração decimal indo-arábico, obra essa imprescindível para a divulgação e adopção do nosso sistema numérico atual. Por outro lado, o seu nome é, provavelmente, a raiz da palavra logaritmo, algoritmo e algarismo. Também algumas das expressões por si utilizadas derivaram em palavras como álgebra, ou na utilização corrente da letra x para representar a incógnita de uma equação. Mas, esquecendo a enorme quantidade de facto s pelos quais devemos estar agradecidos a este personagem histórico, vamos-nos concentrar, única e exclusivamente, no seu papel na história da resolução de equações do 2º grau.
Relativamente às equações do 2º grau, devemos saber que, até Al-Khwarizmi, a resolução de equações do 2º grau era, quase exclusivamente, geométrica. Este matemático, desenvolveu formas algébricas de procura de soluções de equações, sendo estes procedimentos algébricos articulados com representações geométricas que justificavam raciocínios. O que nos proponho realizar, é compreender e utilizar os procedimentos de Al-Khwarizmi na resolução de equações do segundo grau, para os diferentes tipos destas. Quando referimos diferentes tipos de equação do 2º grau, não estamos a utilizar a tipologia atual. Vamos agora estudar cada tipo de equação do 2º grau estudada por Al-Khwarizmi e os seus procedimentos. Para o fazer torna-se, no entanto, necessário conhecer três termos inventados e utilizados por Al-Khwarizmi:
A resolução de problemas com equações do segundo grau aparece tanto nos babilônicos, como nos egípcios, como nos gregos. No entanto, um nome ficou eternamente ligado à resolução de equações do segundo grau - Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Matemático que viveu no século IX, a sua importância é impressionante. Tendo trabalhado na biblioteca de Bagdad, denominada de Casa da Ciência ou Casa da Sabedoria, traduziu para o árabe obras matemáticas provenientes, sobretudo, da Grécia e da Índia. Um dos mais importantes, se não o mais, feitos de Al-Khwarizmi, foi a criação de uma obra sobre o sistema numérico hindu, conhecido atualmente por sistema de numeração decimal indo-arábico, obra essa imprescindível para a divulgação e adopção do nosso sistema numérico atual. Por outro lado, o seu nome é, provavelmente, a raiz da palavra logaritmo, algoritmo e algarismo. Também algumas das expressões por si utilizadas derivaram em palavras como álgebra, ou na utilização corrente da letra x para representar a incógnita de uma equação. Mas, esquecendo a enorme quantidade de facto s pelos quais devemos estar agradecidos a este personagem histórico, vamos-nos concentrar, única e exclusivamente, no seu papel na história da resolução de equações do 2º grau.
Relativamente às equações do 2º grau, devemos saber que, até Al-Khwarizmi, a resolução de equações do 2º grau era, quase exclusivamente, geométrica. Este matemático, desenvolveu formas algébricas de procura de soluções de equações, sendo estes procedimentos algébricos articulados com representações geométricas que justificavam raciocínios. O que nos proponho realizar, é compreender e utilizar os procedimentos de Al-Khwarizmi na resolução de equações do segundo grau, para os diferentes tipos destas. Quando referimos diferentes tipos de equação do 2º grau, não estamos a utilizar a tipologia atual. Vamos agora estudar cada tipo de equação do 2º grau estudada por Al-Khwarizmi e os seus procedimentos. Para o fazer torna-se, no entanto, necessário conhecer três termos inventados e utilizados por Al-Khwarizmi:
bhaskara
A equação a ser resolvida possui o seguinte formato genérico:
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A conhecida fórmula de Bhaskara é:
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O caminho para se sair de (I) e se chegar a (II) é:
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1. Multiplica-se ambos os membros por 4a:
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2. Passar 4ac para o segundo membro:
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3. Somar b2 em ambos os membros:
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Note que o primeiro membro se tornou um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:
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4. Efetuando-se a raiz quadrada em ambos os termos:
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5. Passando-se o "b" para o segundo membro:
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6. Dividindo-se ambos os membros por 2a:
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7. Simplificando:
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C.Q.D. - Como se queria demonstrar (em latim, Q.E.D. Quod erat demonstrandum).
bhaskara
Bhaskara Akaria (em canarês: ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ; 1114-1185, Vijayapura, Índia) foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia.
Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito.
Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola de astronomia matemática.
Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não falsificação posterior.
A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática é:
Onde
, .
Livros
O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e trigonometria elementar ) e combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é "Graciosa"), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza, com a elegância dos métodos da aritmética.[carece de fontes]
Numa tradução turca desse livro, feita 400 anos mais tarde, teria sido inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar.[carece de fontes] Bhaskara escreveu também um livro chamado Vijaganita, que mostra como resolver equações. Foi o primeiro livro a reconhecer que um número positivo ter duas raízes, uma positiva e outra negativa.
Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito.
Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola de astronomia matemática.
Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não falsificação posterior.
A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática é:
Onde
, .
Livros
O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e trigonometria elementar ) e combinatória.
A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é "Graciosa"), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza, com a elegância dos métodos da aritmética.[carece de fontes]
Numa tradução turca desse livro, feita 400 anos mais tarde, teria sido inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar.[carece de fontes] Bhaskara escreveu também um livro chamado Vijaganita, que mostra como resolver equações. Foi o primeiro livro a reconhecer que um número positivo ter duas raízes, uma positiva e outra negativa.
sábado, 27 de fevereiro de 2010
sábado, 6 de fevereiro de 2010
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